Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Contoh Soal dan Penyelesaian Jarak Titik Ke Garis

Salah satu permasalahan yang paling sulit dalam matematika adalah menghitung jarak. Menghitung jarak di sini ada banyak permasalahan mulai dari titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang dan seterusnya.Pada postingan kali ini Saya akan menunjukkan bagaimana cara menghitung jarak titik ke garis.

Sebenarnya cara menghitung jarak titik ke garis ini tidak terlalu susah. Adapun langkah untuk menghitung jarak antara titik dengan garis adalah, Andaikan akan dicari jarak titik X dan garis AB

  1. Buatlah garis g yang melewati titik dan tegak lurus dengan garis AB.
  2. Hitung panjang garis tersebut, Bisa saja dibentuk sebuah segitiga. Kemudian garis AB dianggap sebagai alas dan  garis g sebagai tinggi. Juga kemungkinan menggunakan aturan cosinus, Masing masing bisa diperhatikan contoh soal dan pembahasan jarak titik ke garis di bawah ini.
Contoh Soal 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik X berada di tengah AB. Tentuka jarak antara titik X dan garis GH.



Pada soal tersebut langkah pertama adalah dengan mengambarkan kubus itu. Kemudian bagi dua sisi AB, di tengah AB tersebut ada titik X. Selanjutnya bikin sebuah garis yang melewati X tersebut sehingga melewati titik X dan tegak lurus terhadapa garis GH. Jika kamu mengambarkan dengan benar maka akan di dapat gambar seperti berikut.
Pada perpotongan haris yang baru (yang berwarna merah) dengan garis GH terlihat tegak lurus. Sementara perpotongan garis baru tersebut dengan GH diberi nama X'. Jika sudah ditemukan garis XX' maka itulah jarak antara titik X dan garis GH.

Untuk menghitung jarak garis GH dan titik X, telah ditemukan jaraknya XX'. Nilai dari XX' sekarang yang akan dicari. Adapun panjang XX' itu akan sama dengan BG atau AH. Ini didapat dengan menggeser XX' ke kanan sejauh setengah rusuk, dimana X nanti akan mendapati A , dan X' akan mendapati H. Ingat bahwasanya: untuk garis boleh digeser asal panjang dan arah-nya tidak berubah.

Panjang AH sama sama kita ketahui adalah $r \sqrt 2$. Ini dikarenakan AH tersebut adalah diagonal bidang dan kita sama sama mengetahui  AH tersebut adalah diagonal bidang. Sebab rusuk berukuran 12 cm, maka diagonal bidang-nya memiliki panjang $12 \sqrt 2$. Dengan demikian AH = 12 akar 2 = XX'.Jadi bisa disimpulkan jarak antara X dengan garis GH tadi adalah $12 \sqrt 2$.

Contoh 2
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 1 cm. Titik P berada ditengah BF. Hitunglah jarak antara titik P dengan garis EG.

Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus tersebut,
Bis a diperhatikan pada gambar pertama. Posisi titik P dan EG. Lalu saya tarik garis berwarna merah dari P ke EG. Untuk memudahkan menghitung garis merah tersebut saya tarik segitiga PEG keluar.

Untuk menghitung garis merah (jarak titik ke garis tersebut) saya misalkan panjangnya x. Kita akan hitung dengan cara umum dan cara khusus. Cara umum ini berlaku untuk semua kondisi segitiga, sementara cara khusus bisa digunakan karena segitiga tersebut sama kaki.

Cara I - Cara Umum
Sebelumnya kita harus cari panjang sisi yang diketahui terlebih dahulu. EG = $ \sqrt 2$ karena diagonal bidang. Sementara EP = $ \frac {1}{2} \sqrt 5$. Ini didapat dengan menggunakan rumus triple Phytagoras pada segitiga PFE (EF =1 cm , FP = 1/2, EP =? - gunakan phytagoras). Demikian juga dengan PG, dicari dengan menggunakna rumus Phytagoras pada segitiga PFG yang mana tegak lurus di F. Akan didapat PG juga  $ \frac {1}{2} \sqrt 5$

Berikutnya akan dicari sudut G atau sudut E (pilih sudut di samping garis x.  Kita gunakan rumus Cosinus,
$$EP^2 = EG^2+PG^2 - 2.EP.PG.cos G \\  (\frac {1}{2} \sqrt 5 )^2 = ( \sqrt 2)^2+ (\frac {1}{2} \sqrt 5)^2- 2.\frac {1}{2} \sqrt 5 . \sqrt 2 \\ cos G = \frac {\sqrt 2}{ \sqrt 5}$$
Kita cari sin G dengan identitas trigonometri,
$$ sin^2G+cos^2G =1 \\ sin G = \sqrt {1-cos^2G} \\ sin G= \sqrt {1 - ((\frac {\sqrt 2}{ \sqrt 5})^2} \\ sin G = \frac {\sqrt3}{\sqrt 5} $$

Perhatikan segitiga tersebut sebagian, 
$$sin G = \frac {x}{PG} \\  \frac {\sqrt3}{\sqrt 5} = \frac {x}{ \frac {1}{2} \sqrt 5} \\ x = \frac {1}{2} \sqrt 3$$

Cara Khusus - Karena segitiga Sama Kaki
Karena segitiga tersebut sama kaki PG =PE maka OG = OE. EG = $\sqrt2$ maka OG = $ \frac {1}{2} \sqrt 2$. Gunakan dalil Phytagoras di segitiga POG, sehingga bisa kita tulis,
$$ OP^2 = PG^2 - OG^2 \\ x^2 =  (\frac {1}{2} \sqrt 5)^2 - ( \frac {1}{2} \sqrt 2)^2 \\ x = \frac {1}{2} \sqrt 3$$
Hasilnya sama bukan? Sekali lagi saya tekankan, cara pertama berlaku untuk apapun jenis segitiga yang didapat. Sementara cara kedua hanya berlaku untuk segitiga sama kaki atau segitiga sama sisi.


Loading...