Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Contoh Soal Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika

Pembuktian dalam matematika dikenal salah satunya adalah dengan induksi. Berbagai pernyataan dalam matematika bisa dibuktikan dengan menggunakan metode ini. Berikut akan diberikan contoh soal dan pembahasan induksi matematika dala pembuktaian deret bilangan.
Untuk membuktikan dengan induksi digunakan 3 langkah. Langkah dalam pembuktian induksi ini adalah : 1) buktikan untuk n=1 benar, 2) untuk n=k diasumsikan benar dan dibuktikan 3) n= k+1 juga benar.

Contoh Soal 1 Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika

Buktikan 1+3+5+7+9... +(2n-1) = n2, n ∈ Bilangan Asli.

Bukti :
1) n=1, (2.1-1) =  12, 1=1 (benar).
2) n= k, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)=k2diasumsikan benar.
3) n=k+1,   1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2
Dari pernyataan di atas, coba perhatikan bagian yang diwarnai merah ini,  1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2 , Nilainya sama dengan bagian warna biru pada pernyataan ke dua. Oleh sebab itu kita ganti bagian warna merah dengan n2 , sehingga diperoleh:
k2 +(2(k+1) -1) = (k+1)2
k2 +2k+2-1 = (k+1)2
k2 +2k+1 = (k+1)2
(k+1)(k+1)= (k+1)2
 (k+1)= (k+1)(Terbukti)

Contoh Soal 2, Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika

Buktikan :  12+ 22+ 32+42...+n2 = 1/6 n (n+1) (2n+1), n ∈ bilangan asli. 


Bukti :
1) n = 1, maka diperoleh 12 = 1/6 1 (1+1) (2.1+1).  1=1 (terbukti).
2) n = k,   12+ 22+ 32+42...+k2 = 1/6 k (k+1) (2k+1), diasumsikan benar.
3) n = k+1, 12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1).
   12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)
  1/6 k (k+1) (2k+1)+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ...faktorkan (k+1) di kiri.
(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + (k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... samakan penyebut di kiri.
(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + 6/6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan 1/6 dikiri.
1/6 (k+1) [ k (2k+1) + 6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... selesaikan yang didalam kurung siku.
1/6 (k+1) [ 2k2+7k+6] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan yang di kiri.
1/6 (k+1) [ (k+2)(2k+3) ] =1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... * 2 =1+1,
1/6 (k+1) [ (k+1+1) (2(k+1)+1) ]= 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1). (Terbukti).

Note : 
i) Pembuktian hanya boleh dilakukan pada salah satu ruas yang di 'acak acak' , Jangan mengacak ruas kanan dan ruas kiri.
ii) Bentuk Pembuktian lain adalah fungsi yang habis dibagi, untuk pembuktian ini bisa di baca di : Soal Pembuktian Induksi Matematika habis Dibagi.



Loading...

Jadilah Komentator Pertama untuk "Contoh Soal Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika"

Post a Comment