Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Metode Gauss Jordan dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Pada contoh soal dan pembahasan kali ini, sesuai judul postingan yaitu menggunakan metode Gauss-Jordan dalam penyelesaian persamaan linear. Dalam aplikasi metode Gauss-Jordan ini akan berkaitan dengan operasi OBE matriks. Sebelum lebih lanjut mempelajari cara menyelesaikan persaman linear dengan metode Gauss Jordan, maka sebaiknya di baca dulu pengertian dan dasar cara melakukan OBE pada artikel : Cara Melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) Matriks.

Kelebihan menggunakan metode Gauss Jordan ini adalah dimana kita bisa menyelesaikan persamaan linear dengan banyak variabel. Mungkin untuk persamaan linear dua variabel bisa digunakan metode subtitusi, eliminasi. Tapi untuk persamaan linear dengan 7 variabel tentu sangat repot. Adapun Langkah Menyelesaikan Persamaan Linear dengan Metode Gauss-Jordan sebagai berikut:
  1. Pindahkan persamaan linear ke dalam bentuk matriks.
  2. Lakukan OBE
  3. Jika sudah terbentuk identitas maka, nilai kolom akhir matriks adalah penyelesaian.
Keterangan: Untuk memudahkan memindahkan persamaan linear ke matriks, perhatikan cara berikut.
Susun persaman linear, lalu hapus variabel , tanda tambah dan sama dengan. Contoh :
x+2y-2z=4
3x-y+z= 1
2x+3y+3z=2. Jika kita hapus variabel dan tanda tambah serta sama dengan [untuk negatif ubah jadi ..+(-..) ] maka diperolehlah $ \begin{pmatrix} 1 &2  &-2  &4 \\   3&  -1&  1& 1\\   2&3  &3  &2 \end{pmatrix}$.

Contoh Soal dan Pembahasan Metode Gauss-Jordan

Tentukan nilai x, y, z dari persamaan linear berikut ini.  2x+3y-2z= 2;  x-2y+3z = 6 ; 3y-4x+2y = 1.

Pembahasan :
Langkah 1 : Memindahkan dalam bentuk Matriks
Berdasarkan persamaan yang kita miliki bisa didapat matriks:
$ \begin{pmatrix} 2&3  &-2  &2 \\  1&  -2&  3& 6\\   3&-4  &2  &1 \end{pmatrix}$.

Langkah 2 : Lakukan OBE Matriks
$ \begin{pmatrix} 2&3  &-2  &2 \\  1&  -2&  3& 6\\   3&-4  &2  &1 \end{pmatrix}$.
$R_1\Leftrightarrow R_2  \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\ 2&3  &-2  &2 \\  3&-4  &2  &1 \end{pmatrix}$

$R_2-2R_1\rightarrow R_2 ; R_3-3R_1\rightarrow R_3 \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\ 0&7  &-8 &-10 \\  0&2  &-7  &-17 \end{pmatrix}$.
$R_2\Leftrightarrow R_3  \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\   0&2  &-7  &-17\\ 0&7  &-8  &-10 \end{pmatrix}$.
$ \frac{1}{2} R_2 \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\   0&1  & \frac{-7}{2}  &\frac{-17}{2}\\ 0&7  &-8  &-10  \end{pmatrix} $
$ R_3-7R_2 \rightarrow R_3 \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\   0&1  & \frac{-7}{2}  &\frac{-17}{2}\\ 0&0  & \frac{33}{2}  &\frac{99}{2}  \end{pmatrix} $.
$   \frac {2}{33} R_3 \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\   0&1  & \frac{-7}{2}  &\frac{-17}{2}\\ 0& 0  & 1 &3  \end{pmatrix}  $


 PENTING !!! Jika diminta hanya dengan cara Gauss,  Maka lakukan hal berikut :
Perhatikan baris ke tiga yang dikotak merah:
$ \diamond $ z = 3, setelah dapat z =3. Selanjutnya pada baris kedua persamaaanya :
$ \diamond$ y+ (-7/2 z) = -17/2
y - 7/2 . 3 = - 17/2 , didapat y = 2. Lanjut pada persamaan pertama,
$\diamond $  x + (-2y) +3z = 6  $ \rightarrow $ x - 2(2) + 3(3) = 6 , didapat x = 1.
Tetapi jika diminta menggunakan metode Gauss Jordan anda harus melanjutkan bagian tadi dengan cara berikut.

$R_1+2R_2 \rightarrow R_1  \begin{pmatrix}   1&  0&  -4& -11\\   0&1  & \frac{-7}{2}  &\frac{-17}{2}\\ 0& 0  & 1 &3  \end{pmatrix}$
$R_1+4R_3 \rightarrow R_1 ; R_2 + \frac{7}{2} R_3 \rightarrow R_2 \begin{pmatrix}   1&  0&  0& 1\\   0&1  & 0  &2\\ 0& 0  & 1 &3  \end{pmatrix}$.

Langkah 3: Menentukan Nilai Penyelesaian
Sekarang matriks persamaan telah membentuk identitas. Bagian kolom ke-empat (hasil/konstanta persamaan awal) menunjukkan nilai 1,2,3 dan itulah nilai x, y dan z. Untuk menguji kebenaran ini anda bisa menggunakan : Kalkulator Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).


Loading...

Jadilah Komentator Pertama untuk "Metode Gauss Jordan dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Linear"

Post a Comment