Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Defenisi Deret Taylor dan Deret Maclaurin Beserta Contoh

Deret Taylor merupakan bentuk presentatif dari fungsi. Dalam hal ini  deret tersebut merupakan jumlah tak hingga dari suku pada deret. Untuk menghitungnya digunakan dengan prinsip turunan  pada sebuah titik. Lalu apa itu deret Maclaurin. Deret Maclaurin adalah bila pada deret Taylor tersebut berpusat pada titik nol. Jadi bisa disimpulkan bahwasanya deret Maclaurin adalah bagian deret Taylor, dengan kata lain, deret Taylor yang berpusat di nol disebut dengan deret Maclaurin.
Bentuk umum deret Taylor ini bisa ditulis dalam formulasi :
$f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...+\frac {f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n$
Penulisan tersebut bisa disederhanakan dalam bentuk notasi sigma :
$\sum_{n=0}^{\infty }$ $\frac {f^{n}(a)}{1!}(x-a)^n$
n! Adalah n faktorial. Sementara $f^{n}$ adalah turunan ke-n dari fungsi. Pada rumusan di atas jikadan hanya jika a=0, maka inilah yang menjadi deret Maclaurin.

Contoh Penggunaan Deret Taylor

Kegunaan deret Taylor dan deret Maclaurin ini salah satunya dalam metode numerik. Digunakan dalam perhitungan atau pendekatan nilai fungsi yang tidak bisa dihitung dengan manual. Berikut beberapa contoh soal dan penggunaan deret Taylor dan deret Maclaurin.

Contoh 1 : $f(x) = e^{x}$. Digunakan pendekatan a= 0.
 $f(x) = e^{x}$ ...  $f(0) = e^{0} = 1$
$f' (x) = e^{x}$  ... $f' (0) = e^{0} = 1$
$f'' (x) = e^{x}$ ... $f''(0) = e^{0}= 1$
$f'''(x) = e^{x}$ ...  $f''' (0) = e^{0}=1$
$f^{n}(x) = e^{x}$ ...  $f^{n}(0) = e^{0}=1$
Dengan demikian bisa ditulis menurut formulasi di atas :
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ = $f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3+...+\frac {f^{n}(0)}{n!}(x-0)^n$
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ = $1+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{1}{2!}(x-0)^2+\frac{1}{3!}(x-0)^3+...+\frac {1}{n!}(x-0)^n$
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ =$1+\frac{(x)}{1!}+\frac{(x)^2}{2!}+\frac{(x)^3}{3!}+...+\frac {(x)^n}{n!}$
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ =$\sum_{n=0}^{\infty }$ $\frac {1}{n!}(x)^n$.

Contoh 2 : f(x) = cos x. Kita gunakan pendekatan a=0.
f(x)=cos x ... f(0) = cos 0 = 1
f’(x)= -sin x ... f’(0)= -sin 0 = 0
f’’(x)= -cos x ... f’’(0)= -cos 0 = -1
f”’(x) = sin x ... f”’(0) = sin 0 = 0.
f””(x)= cos x ... f””(0)= cos 0 = 1.
f”’”(x) = sin x ... f””’(0) = sin 0 = 0. dst.
Kita tulis dalam bentuk formulasi umum deret Taylor.
$\triangleright $f(x) = cos x = $f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3+\frac{f'''' (0)}{4!}(x-0)^4+\frac{f''''' (0)}{5!}(x-0)^5+... $.
$\triangleright $f(x) = cos x = $1+\frac{0}{1!}(x)+\frac{-1}{2!}(x)^2+\frac{0}{3!}(x)^3+\frac{1}{4!}(x)^4+\frac{1}{5!}(x)^5+... $.
$\triangleright $f(x) = cos x = $1+0+\frac{-1}{2!}(x)^2+0+\frac{1}{4!}(x)^4+0+... $
$\triangleright $f(x) = cos x = $1+\frac{-1}{2!}(x)^2+\frac{1}{4!}(x)^4+... $ = $\sum_{n=0}^{\infty  }$ $\frac {-1^{n+1}}{(2n-2)!}(x)^{2n-2}$.

Contoh 3 : f(x) = ln (x+1) dengan pendekatan a=0.
f(x)=ln(x+1) ... f(0)=ln 1 = 0.
f’(x)=$\frac{1}{x+1}$ .... f’(0) $\frac{1}{(1)}$ = 1
f’’(x)=$\frac{-1}{(x+1)^{2}}$ .... f’(0) $\frac{1}{(1)^{2}}$ = -1
f’’’(x)=$\frac{2}{(x+1)^{3}}$ .... f’’(0) $\frac{1}{(1)^{3}}$ =  2 = 2!
f’’’’(x)=$\frac{-6}{(x+1)^{4}}$ .... f”’(0) $\frac{1}{(1)^{4}}$ =  -6 =-3!
f’’’’(x)=$\frac{24}{(x+1)^{5}}$ .... f’’”(0) $\frac{1}{(1)^{5}}$ =  24 = 4! Dst.
Selanjutnya disusun dalam bentuk umum deret taylor.
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) = $f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3+\frac{f'''' (0)}{4!}(x-0)^4+\frac{f''''' (0)}{5!}(x-0)^5+... $.
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) = $0+\frac{1)}{1!}(x)+\frac{-1!}{2!}(x)^2+\frac{2!}{3!}(x)^3+\frac{-3!)}{4!}(x)^4+\frac{4!}{5!}(x)^5+... $ .
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) = $0+\frac{1)}{1}(x)+\frac{-1}{2}(x)^2+\frac{1}{3!}(x)^3+\frac{-1)}{3}(x)^4+\frac{1}{4}(x)^5+... $ . ( angka faktorial disederhanakan)
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) =$\sum_{n=0}^{\infty  }$ $\frac {-1^{n+1}}{n}(x)^{n}$.


Loading...

1 Response to "Defenisi Deret Taylor dan Deret Maclaurin Beserta Contoh"