Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi Linear, Bebas Linear dan Bergantung Linear

Sebelumnya telah dipaparkan penjelasan mengenai kombinasi linear, bebas linear dan bergantung linear. Bisa dibaca uraian materinya pada : Pengertian Vektor Kombinasi Linear, Bebas Linear dan Bergantung Linear. Berikutnya pada halaman ini akan dibahas contoh soal mengenai kombinasi linear vektor.

Sebelumnya telah dipaparkan penjelasan mengenai kombinasi linear, bebas linear dan bergantung linear. Bisa dibaca uraian materinya pada : Pengertian Vektor Kombinasi Linear, Bebas Linear dan Bergantung Linear. Berikutnya pada halaman ini akan dibahas contoh soal mengenai kombinasi linear vektor.

1) Diberikan $ \vec {u} = (2,4,0) , \vec {v} = (1,-1,3)$. Vektor tersebut berada di $R^3$. Dari vektor di bawah ini apakah $ \vec{r} =(4,2,6) $ merupakan kombinasi linear dari u dan v ?

Pembahasan:
$\vec {r} = (4,2,6)$

Kita akan memeriksa apakah ada kontanta $k_1$, $k_2$ yang memenuhi persamaan agar u dan v kombinasi linear dari r.
$\vec {a}=k_1. \vec {u}+k_2.\vec{v} \\ \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 6 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \\ 2k_1+k_2 =4 \\ 4k_1 - k_2 =2$
Jika diselesaikan persamaan yang didapat diperoleh nilai k1 =1 dan k2 = 2. Sekarang diuji jika digunakan elemen pada vektor yang ke III.
$6...0.k_1+3k_2 \\ 6... 0.1+3.2 \\ 6=6$
Ternyata juga memenuhi. Jadi $\ vec {u} ,\vec {v} $ merupakan kombinasi linear dari $\vec {r} $ dimana bisa dinyataka dalam bentuk $ \vec {r} = \vec {u} + 2 \vec {v}.

2)
Diketahui suku banyak atau polinomial :
$ y_1 = 1-2x+3x^2 \\ y_2= 5+6x-x^2 \\ y_3= 3+2x+x^2 $ . Apakah polinomial di atas bebas linear atau bergantung linear?

Jawab:
Untuk menguji apakah bebas linear atau bergantung linear harus dicari apakah nanti ada nilai a yang memenuhi  $k_1p_1+k_2p_2+k_3p_3=0$. Kita bisa tuliskan bentuk persamaan linear di atas menjadi persamaan homogen seperti berikut,
$k_1 \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 5\\ 6\\ -1 \end{pmatrix}+ k_3 \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} = 0 $

Berikutnya ada dua pilihan cara menyelesaikan. Pertama dicari dengan metode subtitusi/eliminasi sehingga ada atau tidak nilai $k_1, k_2, k_3$. (Terkait : Kalkulator Penyelesaian Persamaan Linear 3 Variabel.

Cara kedua,
persamaan di atas dibentuk dalam matriks,
$\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3\\ -2&6 &2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_1\\ k_2 \\ k_3 \end{pmatrix} = 0$
Dari persamaan matriks diatas, agar hasil perkalian 0 dan $k_1, k_2, k_3$ memiliki nilai, maka determinan matriks yang dikiri (matriks 3x3) haruslah 0.
Silahkan dihitung determinan matriks 3x3 di atas, (terkait: Kalkulator Menghitung Determinan Matriks 3x3). Ternyata determinan matriks 3x3 di atas adalah 0. Ini artinya, $k_1, k_2, k_3$ memiliki nilai. Oleh sebab itu, KARENA ADA NILAI K yang tidak 0 maka vektor tersebut bergantung linear.

Untuk kasus atau soal lain, bila ditemukan determinan matriks 3x3 –nya tidak nol. Maka kesimpulannya vektor tersebut bebas linear.


Loading...

1 Response to "Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi Linear, Bebas Linear dan Bergantung Linear"