Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Pembuktian Rumus Turunan Tan X

Anda yang sampai pada halaman ini pasti adalah orang jenius yang ingin tahu kenapa turunan tan x adalah sec2 x? Darimana datangnya rumus turunan tan x=sec 2x (asumsi turunan terhadap x).

Turunan secara pendekatan limit bisa ditulis, $$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada} $$

Disini juga akan digunakan beberapa rumus trigonometri yaitu,
sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
cos (A+B) = cos A cos B-sin A sin B

Identitas trigonometri $$ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 \\ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \\ \sec A = \frac{1}{\cos A } $$
Mari kita mulai membuktikan turunan tan adalah,
$$ \text {misal } f(x) = \tan x \\ \text {sesuai identitas} \\ f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \\ \text {maka } \\ f(x+h) = \frac{\sin (x+h)}{\cos (x+h)} \\ f(x+h) = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $$
Silahkan pahami sejenak peneggunaan identitas trigonometri di atas. Jika sudah tidak lagi berkerut kening Anda, kita lanjutkan.
$$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{\sin x}{\cos x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x( \cos x \cos h - \sin x \sin h ) }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin x \cos h + \cos ^2 x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } $$

$$ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x \sin h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos ^2 x + \sin ^2 x ) \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( 1 ) \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } $$
$$ = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 } (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x 1 - \sin x .0 ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x - 0 ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ 1 }{ \cos x } \\ = \sec x . \sec x \\ = \sec ^2 x $$
Itulah mengapa turunan dari tan x =sec 2x. Baca juga pembuktian rumus turunan lain:
  1. Pembuktian Rumus Turunan Sinus (sin)
  2. Pembuktian Rumus Turunan Cosinus (cos)
  3. Pembuktian Rumus Turunan Tangen (tan)
  4. Pembuktian Rumus Turunan Cotangen (cotan)
  5. Pembuktian Rumus Turunan Secan (sec)
  6. Pembuktian Rumus Turunan Cosec (cosec)


Loading...

Jadilah Komentator Pertama untuk "Pembuktian Rumus Turunan Tan X"

Post a Comment