Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Contoh Soal dan Pembahasan Proyeksi Vektor

Di halaman ini akan diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan tentang proyeksi vektor. Soal ini berupa soal hitungan yang mengambil sub topik panjang proyeksi/proyeksi skalar dan proyeksi ortogonal dari sebuah vektor pada vektor lain.

Adapun rumus proyeksi vektor yang harus diingat adalah..
Misalkan vektor c adalah hasil proyeksi vektor a pada vektor b, maka
$$|\vec {c}| = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|} \\ \vec {c} = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|^2} .\vec b$$ Selanjutnya mari kita lihat contoh soal dan pembahasan tentang panjang proyeksi dan proyeksi ortogonal vektor (soal diambil dari soal-soal SBMPTN dan Soal UN). Selain itu anda juga harus bisa melakukan perkalian dot vektor.

#Soal 1.  Diketahui a (-2,3,4) dan b (x,0,3). Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5. Maka salah satu nilai x yang memenuhi adalah...
a) -4    b) -4    c) 2   d) 4   e) 6

Pembahasan: $$\vec a(-2,3,4) \, \, \,  \vec b (x,0,3) \\ |\vec {c}| = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|} \\ \frac {4}{5}=\frac {(-2,3,4) .(x,0,3)}{\sqrt {x^2+0^2+3^2}} \\ \frac {4}{5}=\frac {-2x+3.0+3.4}{\sqrt {x^2+9}} \\ 4 \sqrt {x^2+9}=5.(-2x+12) \\ \text {kuadratkan ke-2 ruas} \\ 21x^2-300x+864=0 \\ x=4 \, \cup \, x=10,2$$

#Soal 2. Proyeksi vektor u=6i+4j-5k pada v=-2i+j+2k adalah...
a) -4i+2j+4k
b) -2i-j-2k
c) -2/3 i -1/3 j- 2/3 k
d) -2/3 i +1/3 j+2/3 k
e) 4i-2j-4k

Pembahasan:
u(6,4,-5) dan v (-2,1,2) $$\vec {c} = \frac {\vec u .\vec v}{|\vec u|^2} .\vec v \\ \vec {c} =  \frac {(6,4,-5) .(-2,1,2)}{(\sqrt {(-2)^2+1^2+2^2})^2} (-2,1,2) \\ \vec c= \frac {-12+4-10}{9} (-2,1,2) \\ \vec c= -2(-2,1,2) \\ \vec c= (4,-2,-4) \\ \vec c = 4i-2j-4k$$

#Soal 3. Diketahui a (4,-12,-6)  dan b (4,2,-4). Jika vektor c adalah proyeksi ortogonal a pada b. Jika vektor d (2,1,x)  memiliki panjang dengan vektor c. Maka panjang x adalah...
$a) \frac {1}{3} \sqrt {3}  \\ b) \frac {1}{3} \sqrt {17} \\ c) \frac {1}{3} \sqrt {19} \\  d)  \frac {1}{3} \sqrt {23} \\ e) \frac {1}{3} \sqrt {29}$


Pembahasan:
Dengan menghitung panjang proyeksi a pada b maka didapat panjangnya 8/3.
$|c|=|d| \\ \frac {8}{3} = \sqrt {2^2+1^2+x^2} \\ \frac {8}{3} = \sqrt {5+x^2} \\ \frac {64}{9} = 5+x^2 \\ x^2=\frac {64}{9} -5 \\ x= \frac {1}{3} \sqrt {19}$

#Soal 4. Diketahui
$\vec a = 2i+xj-3k \\ \vec b= 4i+2j-4k$ Jika proyeksi a pada
$\vec c= \frac {8}{9}i+\frac {4}{9}j-\frac {8}{9}k \\ \text {maka nilai k=...} $
a) -6   b) -3    c) 3    d) 6    e) 8

Pembahasan:
a (2,x,-3)     ; b (4,2,-4)      c( 8/9, 4/9, -8/9)
$\vec {c} = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|^2} .\vec b \\ ( \frac {8}{9}, \frac {4}{9}, -\frac {8}{9})=\frac {(2,x,-3) .(4,2,-4)}{(\sqrt {4^2+2^2+(-4)^2})^2} .(4,2,-4) \\ \frac {2}{9} (4,2,-4)= \frac {8+2x+12}{6} .(4,2,-4)  \\ \frac {2}{9} = \frac {8+2x+12}{6} \\ x=-6 $

Tambahan: Soal Panjang dari jumlah dan selisih vektor.
Rumus yang akan digunakan: $|a \pm b|^2= |a|^2+|b|^2\pm 2|a||b| \cos \alpha$
#Soal 5. Diketahui |a|=8 , |b|=4  dan |a-b|= $6 \sqrt 3$. Maka nilai |a+2b|=...

Pembahasan:
$|a - b|^2= |a|^2+|b|^2- 2|a||b| \cos \alpha \\ (6 \sqrt 3)^2=8^2+4^2-2.8.4. \cos \alpha \\ \cos \alpha = -
 \frac {7}{16} \\ \text {uraikan |a+2b|} \\ |a+2b|^2= |a|^2+|2b|^2+2|a||2b| \cos \alpha \\ |a+2b|^2=|a|^2+4|b|^2+4|a||b| \cos \alpha \\ |a+2b|^2 = 8^2+4.4^2+4.8.4. - \frac {7}{16} \\ |a+2b|= 6 \sqrt 2$

Loading...

Jadilah Komentator Pertama untuk "Contoh Soal dan Pembahasan Proyeksi Vektor"

Post a Comment