Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Teorema Identitas Vandermonde

Teorema Vandermonde ini merupakan tiga serangkai dari teorema Identitas Pascal dan Teorema Ekspansi Binomial. Bunyi dari teorema Identitas Vandermonde ini sebagai berikut,

Misalkan m, n, dan r adalah bilangan bulat non-negatif dengan r tidak melebihi salah satu dari m atau n. Maka berlaku,
Pembuktian teorema Vandermonde,
Misalkan ada m anggota himpunan pertama dan n anggota pada himpunan kedua, maka banyaknya cara memilih r elemen dari gabungan dua himpunan ini adalah  $\begin{pmatrix}m+n \\  r \end{pmatrix}$.

Cara lainnya untuk memilih r elemen dari gabungan himpunan adalah mengambil k elemen dari himpunan kedua kemudian r−k elemen dari himpunan kedua, dimana k adalah bilangan bulat dengan 0≤k≤r.  Karena ada $\begin{pmatrix} n \\  k \end{pmatrix}$ cara untuk memilih k elemen dari himpunan kedua DAN
ada$\begin{pmatrix} m \\ r- k \end{pmatrix}$ cara untuk memilih r−k elemen dari himpunan pertama, maka berdasarkan aturan perkalian, banyaknya cara memilih r elemen dengan prosedur ini bisa dilakukan dengan,
$ \begin{pmatrix} n \\  k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\  r- k \end{pmatrix}$
Jadi jumlah total banyaknya cara memilih r elemen dari gabungan dua himpunan tersebut adalah
 $\sum_{k=0}^{r}  \begin{pmatrix} n \\  k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\  r- k \end{pmatrix}$


Sudah ditemukan dua ekspresi dalam perhitungan banyak cara mengambil r elemen dari gabungan himpinan m anggota dan n anggota. Penyamaan ekspresi-ekspresi tersebut yang akan memberikan identitas vandermonde. Ini akan melahirkan akibat,
Jika n adalah bilangan bulat nonnegatif, maka
 $ \begin{pmatrix} 2n \\  n \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n}  \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} ^2$

Pembuktian akibat di atas sebagai berikut,
Dengan menggunakan identitas Vandermonde dengan n=m=r akan didapat
 $ \begin{pmatrix} 2n \\  n \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n}  \begin{pmatrix} n \\ n -k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\   k \end{pmatrix}$
Karena sesuai identitas binomial
$\begin{pmatrix} n \\ n -k \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} n \\   k \end{pmatrix}$
Maka,
$\begin{pmatrix} 2n \\  n \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^{n}  \begin{pmatrix} n \\ n -k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\   k \end{pmatrix} = \sum_{k=0}^{n}  \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} ^2$




Loading...

Jadilah Komentator Pertama untuk "Teorema Identitas Vandermonde"

Post a Comment