Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Aplikasi Fungsi Pembangkit dalam Masalah Counting

Bentuk aplikasi dan penerapan fungsi pembangkit bisa digunakan dalam masalah counting. Contohnya dalam menemukan banyaknya solusi dari persamaan:
$x_1+x_2+x_3+...+x_n = C$,
C adalah konstanta.
dan x adalah bilangan positif dengan batas batas tertentu.

Sebagai contoh:
Tentukan banyak solusi dari
$\begin{align*} e_1+e_2+e_3=17 \end{align*}$
dimana $e_1, e_2, e_3$ adalah bilangan bulat non negatif dengan
$2 \leq e_1 \leq 5 \\ 3 \leq e_2 \leq 6 \\ 4 \leq e_3 \leq 7$

Jawab:
Banyaknya solusi pada batas interval masing masing e adalah koefisien $x^{17}$ dari ekspansi:
$\begin{align*} F(x)&=(x^2+x^3+x^4+x^5)(x^3+x^4+x^5+x^6)(x^4+x^5+x^6+x^7)\\ &=x^2(1+x+x^2+x^3)x^3(1+x+x^2+x^3)x^4(1+x+x^2+x^3)\\ &=x^9(\frac{(1-x^4}{1-x})^3)  \end{align*} $

Karena sudah ada $x^9$ terfaktorkan, sisanya anda harus menemukan $x^8$  (ingat $x^{17} = x^9.x^8$ ) dari $\frac{(1-x^4}{1-x})^3$
misal $g(x)=(\frac{1-x^4}{1-x})^3=(1-x^4)^3(1-x)^{-3}$
$h(x)=(1-x^4)^3=1-3x^4+3x^8-x^12$
$i(x) =(1-x)^{-3}$

Pada h(x) terdapat $x^0$ , $x^4$ , $x^{12}$
Agar g (x) menjadi $x^8$ maka
Aplikasi Fungsi Pembangkit dalam Masalah Counting
Akan dicari koefisien nilai a,b,c di atas. pada baris terakhir nilai i(x) tak dicari karena untuk pangkah h(x) saja sudah lebih dari 8.
Untuk $i(x) =(1-x)^{-3}$ disini anda gunakan, baca selengkapnya di Teorema Binomial Diperluas.
Rumus umum teorema binomial diperluas:
Aplikasi Fungsi Pembangkit dalam Masalah Counting 2
Misal untuk menghitung a, dari  $i(x) =(1-x)^{-3}$
k=8, n=3 , x=-x
maka
$(-1)^8 C (3+8-1,8)(-x)^8 = 1.45.x^8 = 45 x^8$
Jadi nilai a=45
Lanjutkan menghitung b dan c dan didapatkan hasil b=15 dan c= 1.
Sehingga
Aplikasi Fungsi Pembangkit dalam Masalah Counting
Total koefisien $x^8$ adalah 45+(-45)+3 = 3. Jadi banyak solusi untuk problem di atas adalah 3.


Loading...

Jadilah Komentator Pertama untuk "Aplikasi Fungsi Pembangkit dalam Masalah Counting"

Post a Comment