Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Perubahan Data dalam Statistika

Pada pengukuran data, pemusatan data, letak data dan penyebaran data mungkin akan ditemukan perubahan data. Maksud dari perubahan data ini adalah, jika setiap nilai data diberi perlakuan operasi tambah, kurang, kali, ataupun bagi dengan sebuah bilangan. Nah akan dilihat bagaimana hubungannya dengan pemusatan, penyebaran dan letak data setelah diberi perlakuan.

Perubahan data tak Beraturan

Perubahan tak beraturan, artinya disini setiap nilai datum diberi perlakuan yang sama, tetapi dengan angka yang tak beraturan atau tidak sama. Biasanya angka perubahan mengikuti barisan atau deret. Anda harus ingat rumus rumus deret aritmatika dan geometri berikut,
Rumus dasar jumlah $ n $ suku pertama deret :
DA : $ \begin{align} s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda, $ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = .... $

DG: $ \begin{align} s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio, $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = .... $

Sebagai contoh silakan perhatikan,
Terdapat 10 data dimana, $ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ Rata ratanya a. Tentukan nilai rata-rata baru jika data diubah menjadi, $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, .... , \, $

Penyelesaian:
n=10.
Diketahui rata-rata a, makaa
$  \overline{x} & = a \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10}}{10} & = a  \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $

Sementara data baru,
$ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, .... , \, $ 
Dengan rumus rata-rata bisa ditulis,
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1+1)+(x_2+3)+(x_3+5)+ ... . +(x_{10} + ...) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10})+(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10})}{10} + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = a + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = a + \frac{s_{10} \, \text{ deret aritmetika} }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{10}{2}(2.1 + (10-1).2) }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{\not{10}}{2}(2 + 9.2) }{\not{10}} \\ & = a + \frac{1}{2}(2 + 18) \\ & = a + \frac{1}{2}(20) \\ & = a + 10 \end{align} $

Contoh 2:
Diketahui data, $ x_1, x_2, ...x_6 \, $ memiliki rata-rata b. Bila tiap data diubah menjadi, 
$ x_1 - 1, x_2 - 2, x_3 - 4, ..., x_6 - 32 \, $
Maka rata-rata terbaru adalah,

Penyelesaian:
Data awal dengan rata rata b, bisa anda tulis,
$ \begin{align} \overline{x} & = b \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ ... +x_6}{6} & = b \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
Pada data yang baru, berlaku
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1-1)+(x_2-2)+(x_3-4)+ ... . +(x_6 -32) }{6} \\  & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_6)+((-1) + (-2) + (-4) +... + (-32)) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_6)}{6} + \frac{-(1 + 2 + 4 +...+32) }{6} \\ & = b - \frac{(1 + 2 + 4 +...+32) }{6} \\ & = b - \frac{s_{6} \, \text{ deret geometri} }{6} \\ & = b - \frac{ \frac{1(2^6 - 1)}{2-1} }{6} \\ & = b - \frac{ \frac{(64 - 1)}{1} }{6} \\ & = b - \frac{63}{6} \\ & = b - 10\frac{1}{2} \\ & = b - 10,5 \end{align} $


Perubahan data secara Beraturan

Perubahan data secara beraturan adalah perlakuan pada setiap datum sama, baik itu operasi ataupun bilangannya. Perubahan yang terjadi dilihat dari apakah itu ukuran pemusatan dan letak data atau ukuran penyebaran data.
  1. Untuk ukuran pemusatan dan letak data Mean, Modus, Median, Kuartil, Desil, Persentil, akan mengikuti semua operasi kali/bagi/tambah/kurang pada soal.
  2. Sementara untuk ukuran penyebaran (Jangkauan, Simpangan Rata Rata, Simpangan Baku dan Ragam hanya berubah jika perlakuan kali atau bagi saja. Jika operasi tambah dan kurang tak akan mempengaruhi nilai penyebaran data.
Perubahan Data dalam Statistika

Akan lebih mudah jika anda perhatikan contoh soal dan pembahasan di bawah ini,
Soal 1.
Diketahui suatu data memiliki rata-rata 6 dan jangkauan 9. Jika setiap data ditambahkan 2 dan hasilnya dikalikan dengan 5, tentukan nilai rata-rata dan jangkauan baru yang terbentuk.!

Penyelesaian :
Rata-rata termasuk pemusatan data dan akan berubah untuk semua operasi.
Rata-rata baru = $ (\text{rata-rata awal } + 2) \times 5 = (6 + 2) \times 5 = 8 \times 5 = 40 $

Jangkauan termasuk penyebaran data dan hanya berubah untuk operasi perkalian dan pembagian, sementara untuk operasi tambah/kurang tidak berpengaruh. Maka
Jangkauan baru = $ \text{jangkauan awal } \times 5 = 9 \times 5 = 45 $
Soal 2.
Suatu data memiliki rata-rata 3, mediannya 9, modusnya 7, kuartil pertamanya 2, jangkauannya 15, dan simpangan rata-ratanya 5. Kemudian setiap data dikalikan -2, selanjutnya ditambahkan 8, dan selanjutnya dibagi 4. Tentukan semua nilai rata-rata, median, modus, kuartil pertama, jangkauan, dan simpangan rata-rata barunya!

Penyelesaian :
Perlakuan : kali -2, kemudian ditambahkan 8, dan dibagi 4.
Uukuran pemusatan dan ukuran letak data berubah untuk semua operasi.
Rata-rata baru = $ [(3 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 2 : 4 = \frac{1}{2} $
Median baru = $ [(9 \times (-2)) + 8 ] : 4 = (-10) : 4 = -\frac{5}{2} $
Kuartil pertama baru = $ [(2 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 4 : 4 = 1 $

Ukuran penyebaran data berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
Jangkauan baru = $ (15 \times (-2)) : 4 = (-30) : 4 = - \frac{15}{2} $
Simpangan rata-rata baru = $ (5 \times (-2)) : 4 = (-10) : 4 = - \frac{5}{2} $

Soal 3.
Suatu data memiliki rata-rata 5 dan jangkauan 3. Setiap data dikalikan $ y \, $ kemudian hasilnya dikurangkan dengan $ x $ , diperoleh rata-rata barunya 10 dan jangkauan barunya 9. Tentukan nilai $ x + y $ ?

Penyelesaian :
Misalkan nilai pengukurannya :
$ \overline{x}_{awal} = \, $ rata-rata awal, $ \overline{x}_{awal} = 5 $
$ \overline{x}_{baru} = \, $ rata-rata baru , $ \overline{x}_{baru} = 10 $
$ j_{awal} = \, $ jangkauan awal, $ j_{awal} = 3 $
$ j_{baru} = \, $ jangkauan baru, $ j_{baru} = 9 $

Persamaan dari perubahan data,
Operasi : dikali $ y \, $ kemudian dikurangkan $ x $
Rata-rata : $ \overline{x}_{baru} = ( \overline{x}_{awal} \times y) - x $
$ 10 = 5y - x \, $ ....pers(i)

Jangkauan : $ j_{baru} = j_{awal} \times y $
$ 9 = 3y \rightarrow y = \frac{9}{3} \rightarrow y = 3 $
Pers(i) : $ 10 = 5y - x \rightarrow 10 = 5 \times 3 - x \rightarrow x = 15 - 10 = 5 $
Sehingga nilai $ x + y = 5 + 3 = 8 $
Artinya nilai $ x + y = 8 $
Sumber Soal: https://mathsteria.wordpress.com/2014/10/20/perubahan-data-dalam-statistika/



Loading...

1 Response to "Perubahan Data dalam Statistika"